Matura podstawowa maj 2022, zadanie 18, rozwiązanie

Planimetria

1 pkt

Punkty

A

B

P

leżą na okręgu o środku

S

i promieniu

6

. Czworokąt

A S B P

jest rombem, w którym kąt ostry

P A S

ma miarę

60°

(zobacz rysunek).

Pole zakreskowanej na rysunku figury jest równe

Poprawna odpowiedź

12 π

Czworokąt $A S B P$ jest rombem, więc kąty przy sąsiednich wierzchołkach sumują się do $180°$ . Kąt $P A S = 60°$ , więc kąt przy wierzchołku $S$ :
$∠ A S B = 180° - 60° = 120°$
Punkty $A$ i $B$ leżą na okręgu o środku $S$ i promieniu $6$ , a kąt $A S B = 120°$ jest kątem środkowym wycinka koła ograniczonego promieniami $S A$ , $S B$ i łukiem $A B$ przechodzącym przez $P$ : to właśnie zakreskowana na rysunku figura.
Pole wycinka koła o promieniu $r$ i kącie środkowym $β$ :
$P = \frac{β}{360°} \cdot π r^{2} = \frac{120°}{360°} \cdot π \cdot 6^{2} = \frac{1}{3} \cdot 36 π = 12 π$