W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne ABC, w których C=(0,0), wierzchołek B leży na dodatniej półosi Oy, wierzchołek A leży na dodatniej półosi Ox, natomiast bok AB jest zawarty w prostej przechodzącej przez punkt K=(1,2).
Pole P trójkąta ABC w zależności od współczynnika kierunkowego a prostej AB jest określone wzorem
P(a)=2a−a2+4a−4
dla a<0.
Wyznacz równanie prostej zawierającej przeciwprostokątną AB tego z rozważanych trójkątów, który ma najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.
Wielomian f zmiennej rzeczywistej x jest określony wzorem f(x)=x3+ax2+bx+c, gdzie a,b,c∈R. Liczba (−2) jest miejscem zerowym tego wielomianu. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) styczna do wykresu wielomianu f w punkcie A o pierwszej współrzędnej równej (−2) przecina ten wykres w punkcie P=(1,9). Wyznacz wzór wielomianu f.
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o polu powierzchni całkowitej równym 243. Objętość V graniastosłupa w zależności od długości a krawędzi podstawy jest określona wzorem V(a)=6a−81a3 dla a∈(0,43). Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość.
Funkcja f jest określona wzorem f(x)=xx3−3x+2 dla każdej liczby rzeczywistej x różnej od zera. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) punkt P, o pierwszej współrzędnej równej 2, należy do wykresu funkcji f. Prosta o równaniu y=ax+b jest styczna do wykresu funkcji f w punkcie P. Oblicz współczynniki a oraz b w równaniu tej stycznej.
Funkcja f jest określona wzorem f(x)=x−812x−84 dla każdego x∈(−∞,8).
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) rozważamy wszystkie czworokąty OBCD, w których:
• wierzchołek O ma współrzędne (0,0) • wierzchołki B oraz D są punktami przecięcia wykresu funkcji f z osią - odpowiednio - Ox i Oy • wierzchołek C ma obie współrzędne dodatnie i leży na wykresie funkcji f
(zobacz rysunek).
Pole P czworokąta OBCD w zależności od pierwszej współrzędnej x punktu C jest określone wzorem
P(x)=421⋅x−8x2−56
dla x∈(0,7).
Oblicz współrzędne wierzchołka C, dla których pole czworokąta OBCD jest największe. Zapisz obliczenia.
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości 3456, których krawędź podstawy ma długość nie większą niż 83. Pole P powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości a krawędzi podstawy jest określone wzorem P(a)=2a23+a138243 dla a∈(0,83]. Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.
Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?
Poprawna odpowiedź
x=43, najmniejsze pole P=123 m2
🔒 Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.