Punkty K i L są środkami – odpowiednio – boków AB i BC kwadratu ABCD o boku długości a. Punkt M jest takim punktem na boku BC, że odcinki DK i KM są prostopadłe.
Odcinek AL przecina odcinki DK oraz DM w punktach – odpowiednio – P oraz Q (zobacz rysunek).
Wykaż, że ∣PQ∣=55a.
Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?
Poprawna odpowiedź
∣PQ∣=54∣KM∣=55a
🔒 Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
Odcinek CD jest wysokością trójkąta równoramiennego ABC, w którym ∣AC∣=∣BC∣. Prosta p jest prostopadła do boku BC i przecina ten bok w punkcie L. Ta prosta przecina wysokość CD w punkcie K oraz przecina bok AC w punkcie różnym od A.
W projekcie ogrodu zaplanowano kwietnik w kształcie trójkąta równoramiennego o podstawie długości x metrów nieprzekraczającej 10 metrów. Na tym kwietniku ma znajdować się fontanna w kształcie koła o średnicy 4 metrów, które ma być styczne do każdego z boków trójkątnego kwietnika (zobacz rysunek). Projektantowi zależy, aby przy tak ustalonej wielkości fontanny pole tego kwietnika było najmniejsze.
Wykaż, że pole P (wyrażone w metrach kwadratowych) trójkątnego kwietnika o podstawie długości x metrów jest określone wzorem
Dany jest prostokąt ABCD, w którym ∣AB∣=2⋅∣AD∣. Na bokach AB, BC, CD oraz DA tego prostokąta obrano punkty – odpowiednio – K, L, M oraz N (przy czym każdy z tych punktów leży na dokładnie jednym boku prostokąta ABCD). Czworokąt KLMN jest trapezem prostokątnym, a wysokość LM tego trapezu jest równoległa do przekątnej BD prostokąta. Wykaż, że stosunek pola trójkąta MDN do pola trójkąta KBL jest równy 16.
W trapezie ABCD o podstawach AB i CD punkt E jest środkiem ramienia AD, a punkt F jest środkiem ramienia BC trapezu. Stosunek pola trapezu EFCD do pola trapezu ABFE jest równy 21.
Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny ABCD o podstawie ABC. Płaszczyzna zawierająca krawędź AB podstawy i prostopadła do krawędzi bocznej CD przecina tę krawędź w punkcie E, przy czym ∣DE∣∣CE∣=113. Oblicz stosunek pola powierzchni całkowitej tego ostrosłupa do pola podstawy ABC.
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dany jest równoległobok ABCD o wierzchołkach A=(−8,−1) i D=(−13,9) oraz środku symetrii M=(−29,1). Okrąg O przechodzi przez początek tego układu i jest styczny do prostych zawierających boki AB i BC tego równoległoboku. Druga współrzędna środka okręgu O jest liczbą ujemną. Wyznacz równanie okręgu O.
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o polu powierzchni całkowitej równym 243. Wykaż, że objętość V graniastosłupa w zależności od długości a krawędzi podstawy jest określona wzorem V(a)=6a−81a3.
Dany jest trójkąt ABC, który nie jest równoramienny. W tym trójkącie miara kąta ABC jest dwa razy większa od miary kąta BAC. Wykaż, że długości boków tego trójkąta spełniają warunek ∣AC∣2=∣BC∣2+∣AB∣⋅∣BC∣.
Dany jest kwadrat ABCD o boku długości a. Punkt E jest środkiem boku CD. Przekątna BD dzieli trójkąt ACE na dwie figury: AGF oraz CEFG. Oblicz pola figur AGF oraz CEFG.
Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?
Poprawna odpowiedź
∣∠CAK∣=∣∠KBL∣=∣∠KDL∣
🔒 Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.