Zbiór zadań

Znaleziono 19 zadań. Losuj z tych filtrów →

1. Odczytujemy z diagramu liczbę uczniów z każdą oceną: ocena $1$ — $2$ osoby, ocena $2$ — $1$ osoba, ocena $3$ — $6$ osób, ocena $4$ — $5$ osób, ocena $5$ — $7$ osób, ocena $6$ — $5$ osób.
2. Obliczamy łączną liczbę uczniów:
   $$2+1+6+5+7+5=26$$
3. Ponieważ liczba uczniów jest parzysta, medianą jest średnia arytmetyczna $13.$ i $14.$ wyrazu uporządkowanego niemalejąco ciągu ocen.
4. Ustalamy skumulowaną liczbę uczniów: po ocenie $1$ mamy $2$ uczniów, po ocenie $2$ mamy $3$, po ocenie $3$ mamy $9$, po ocenie $4$ mamy $14$. Zatem zarówno $13.$, jak i $14.$ uczeń w uporządkowanym ciągu ma ocenę $4$.
5. Mediana jest więc równa:
   $$\frac{4+4}{2}=4$$

1. Sumujemy oceny pomnożone przez wagę odpowiedniej kategorii:
   $$2\cdot (4+4+3)+3\cdot (2+5)+4\cdot (5+4)=2\cdot 11+3\cdot 7+4\cdot 9=22+21+36=79$$
2. Sumujemy wagi wszystkich ocen (po $3$ oceny z wagą $2$, po $2$ oceny z wagą $3$ i po $2$ oceny z wagą $4$):
   $$3\cdot 2+2\cdot 3+2\cdot 4=6+6+8=20$$
3. Średnia ważona:
   $$\frac{79}{20}=3,95$$

1. Odczytujemy z diagramów liczby uczniów z poszczególnymi ocenami: klasa IV A: $1,6,3,3,6,1$ (oceny $1$–$6$); klasa IV B: $1,3,6,6,3,1$. W obu klasach jest po $20$ uczniów.
2. Obliczamy średnią klasy IV A:
   $$\frac{1\cdot 1+2\cdot 6+3\cdot 3+4\cdot 3+5\cdot 6+6\cdot 1}{20}=\frac{70}{20}=3,5$$
3. Obliczamy średnią klasy IV B:
   $$\frac{1\cdot 1+2\cdot 3+3\cdot 6+4\cdot 6+5\cdot 3+6\cdot 1}{20}=\frac{70}{20}=3,5$$
4. Średnie są równe — pierwsze zdanie jest prawdziwe.
5. W obu klasach $10.$ i $11.$ wyraz uporządkowanego niemalejąco ciągu ocen (licząc skumulowane liczebności) to odpowiednio $3$ i $4$, więc mediana w obu klasach wynosi $\frac{3+4}{2}=3,5$ — drugie zdanie jest prawdziwe.

1. Obliczamy liczbę meczów odpowiadającą każdemu wycinkowi diagramu ($50$ meczów; wycinki to kolejno $8\%,42\%,32\%,12\%,6\%$ dla $0,1,2,3,4$ goli):
   $$0\text{ goli}:4,1\text{ gol}:21,2\text{ gole}:16,3\text{ gole}:6,4\text{ gole}:3$$
2. Mediana $50$ wyników to średnia arytmetyczna $25.$ i $26.$ wyrazu uporządkowanego ciągu. Skumulowane liczebności: po wyniku $0$ goli — $4$ mecze, po wyniku $1$ gol łącznie $4+21=25$ meczów, po wyniku $2$ gole łącznie $25+16=41$ meczów.
3. Zatem $25.$ wyraz to $1$ (ostatni z grupy „1 gol”), a $26.$ wyraz to $2$ (pierwszy z grupy „2 gole”). Mediana:
   $$\frac{1+2}{2}=1,5$$

1. Suma liczb $a,b,c$:
   $$a+b+c=3\cdot 2=6$$
2. Suma liczb $d,e,f,g$:
   $$d+e+f+g=4\cdot 5,5=22$$
3. Średnia siedmiu liczb:
   $$\frac{6+22}{7}=\frac{28}{7}=4$$

1. Średnia arytmetyczna siedmiu liczb wynosi $3$, więc ich suma jest równa:
   $$1+2+3+4+5+x+y=7\cdot 3=21$$
2. Obliczamy sumę pierwszych pięciu liczb i wyznaczamy $x+y$:
   $$15+x+y=21⟹x+y=6$$

1. Z warunku zadania:
   $$\frac{a+b+c}{3}=12⟹a+b+c=36$$
2. Sumujemy sześć podanych liczb, wyłączając wspólny czynnik $5$:
   $$2a+3a+2b+3b+2c+3c=5a+5b+5c=5(a+b+c)=5\cdot 36=180$$
3. Średnią arytmetyczną otrzymujemy, dzieląc sumę przez liczbę składników, czyli $6$:
   $$\frac{180}{6}=30$$

1. Obliczamy średnią arytmetyczną liczby punktów: mnożymy każdy wynik przez liczbę uczniów, którzy go uzyskali, sumujemy i dzielimy przez $32$:
   $$\bar{x}=\frac{0\cdot 4+1\cdot 2+2\cdot 5+3\cdot 5+4\cdot 11+5\cdot 5}{32}=\frac{96}{32}=3$$
2. Wynik niższy od średniej ($3$) to $0$, $1$ lub $2$ punkty. Liczymy uczniów z takim wynikiem:
   $$4+2+5=11$$
3. Aby znaleźć medianę, ustawiamy wszystkie $32$ wyniki w kolejności niemalejącej i szukamy $16.$ oraz $17.$ wyrazu. Uczniów z wynikiem nie większym niż $2$ jest $4+2+5=11$, a z wynikiem nie większym niż $3$ jest $11+5=16$, więc $16.$ wyraz to $3$. Kolejny, $17.$ wyraz, należy już do grupy $11$ uczniów z wynikiem $4$, więc jest równy $4$:
4. Dominantą jest wynik, który wystąpił najczęściej — najliczniejsza jest grupa $11$ uczniów z wynikiem $4$ punkty, więc:
   $$Mo=4$$

1. Odczytujemy z diagramu liczbę uczniów, którzy otrzymali każdą ocenę: ocena $1$ – $1$ uczeń, ocena $2$ – $3$ uczniów, ocena $3$ – $4$ uczniów, ocena $4$ – $4$ uczniów, ocena $5$ – $5$ uczniów, ocena $6$ – $7$ uczniów (razem $24$ uczniów).
2. Aby znaleźć medianę, ustawiamy wszystkie $24$ oceny w kolejności niemalejącej i szukamy średniej z $12$-tej i $13$-tej wartości. Licząc kolejno pozycje: oceny $1$–$2$ zajmują miejsca $1$–$4$, ocena $3$ miejsca $5$–$8$, ocena $4$ miejsca $9$–$12$, ocena $5$ miejsca $13$–$17$.
3. Zatem $12$-tą wartością jest ocena $4$, a $13$-tą ocena $5$. Mediana jest równa:
   $$\frac{4+5}{2}=4,5$$
4. Dominantą (modą) jest ocena występująca najczęściej — jest to ocena $6$, którą otrzymało najwięcej uczniów, czyli $7$.

1. Z warunku zadania wyznaczamy sumę liczb $a$, $b$, $c$:
   $$\begin{array}{rl}& \frac{a+b+c}{3}=9\\ & a+b+c=27\end{array}$$
2. Obliczamy średnią arytmetyczną sześciu liczb $a,a,b,b,c,c$:
   $$\frac{2a+2b+2c}{6}=\frac{2(a+b+c)}{6}=\frac{a+b+c}{3}=\frac{27}{3}=9$$

1. Średnia arytmetyczna:
   $$\bar{x}=\frac{4\cdot 5+5\cdot 8+6\cdot 12+7\cdot 13+8\cdot 12}{50}=\frac{20+40+72+91+96}{50}=\frac{319}{50}=6,38$$
2. Mediana: $50$ uczniów, więc mediana to średnia 25. i 26. wartości. Skumulowane liczności: $5$ (do 4 książek), $13$ (do 5), $25$ (do 6), $38$ (do 7), $50$ (do 8). Zarówno 25. jak i 26. obserwacja leżą w przedziale wartości $6$ i $7$:
   $$\text{mediana}=\frac{6+7}{2}=6,5$$

1. Z diagramu odczytujemy liczbę uczniów z poszczególnymi ocenami:
   

   • ocenę $1$ - $2$ osoby
   • ocenę $2$ - $7$ osób
   • ocenę $3$ - $4$ osoby
   • ocenę $4$ - $3$ osoby
   • ocenę $5$ - $6$ osób
   • ocenę $6$ - $4$ osoby

   Sprawdzian pisało łącznie:
   $$2+7+4+3+6+4=26$$
2. Liczba uczniów jest parzysta, więc medianą jest średnia arytmetyczna $13.$ i $14.$ wyniku w uporządkowanym ciągu ocen. Szukamy jakie oceny są na $13$ i $14$ miejscu.

   • ocenę $1$ - $2$ osoby - suma $2$
   • ocenę $2$ - $7$ osób - suma $9$
   • ocenę $3$ - $4$ osoby - suma $13$ - miejsce $13$ jest tutaj
   • ocenę $4$ - $3$ osoby - suma $16$ - miejsce $14$ jest tutaj
   • ocenę $5$ - $6$ osób
   • ocenę $6$ - $4$ osoby
3. Obliczamy medianę:
   $$\text{M}=\frac{3+4}{2}=3,5$$

1. Jabłka spełniające normę (masa $19$, $20$ lub $21$ dag): $8+17+11=36$ jabłek.
2. Prawdopodobieństwo:
   $$P=\frac{36}{50}=\frac{18}{25}$$

1. $16$ sklepów, po posortowaniu: $5,05$ (×2), $5,60$ (×4), $5,70$ (×2), $6,00$ (×5), $6,30$ (×3). Mediana = średnia 8. i 9. wartości. 8. wartość: $5,70$, 9. wartość: $6,00$:
   $$Me=\frac{5,70+6,00}{2}=5,85\text{ zł}$$