Zbiór zadań

Znaleziono 12 zadań. Losuj z tych filtrów →

1. Stosujemy wzór na logarytm ilorazu:
   $${\log }_{8}4-{\log }_{8}32={\log }_8\frac{4}{32}={\log }_8\frac{1}{8}$$
2. Obliczamy logarytm:
   $${\log }_8\frac{1}{8}={\log }_8{8}^{-1}=-1$$

1. Zapisujemy pierwiastek jako potęgę o wykładniku ułamkowym:
   $${\log }_8\sqrt[5]{2}={\log }_8{2}^{\frac{1}{5}}=\frac{1}{5}{\log }_{8}2$$
2. Ponieważ $8=2^3$, mamy ${\log }_{8}2=\frac{1}{3}$.
3. Obliczamy wynik:
   $$\frac{1}{5}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{15}$$

1. Stosujemy wzór na logarytm potęgi: $2{\log }_{3}2={\log }_3{2}^2={\log }_{3}4$:
   $${\log }_{3}108-{\log }_{3}4$$
2. Stosujemy wzór na logarytm ilorazu i obliczamy:
   $${\log }_{3}108-{\log }_{3}4={\log }_3\frac{108}{4}={\log }_{3}27=3$$

1. Stwierdzenie 1: Stosujemy wzór na logarytm potęgi $n\cdot {\log }_{a}b={\log }_a{b}^n$:
   $$2\cdot {\log }_{3}5={\log }_3{5}^2={\log }_{3}25\text{(PRAWDA)}$$
2. Stwierdzenie 2: Sprawdzamy. Mamy $2={\log }_{3}9$, więc:
   $$2+{\log }_{3}5={\log }_{3}9+{\log }_{3}5={\log }_{3}45\ne {\log }_{3}10\text{(FAŁSZ)}$$

1. Oznaczamy $x={\log }_{\sqrt{3}}9$, czyli szukamy takiego wykładnika, aby ${\left(\sqrt{3}\right)}^x=9$. Zapisujemy podstawę i liczbę logarytmowaną jako potęgi liczby $3$:
   $$\begin{gathered} \sqrt{3}=3^{\frac{1}{2}},9=3^2 \\ {3}^{\frac{1}{2}x}=3^2 \end{gathered}$$
2. Skoro podstawy po obu stronach są równe, wykładniki też muszą być równe:
   $$\frac{1}{2}x=2⟹x=4$$

1. Stosujemy wzór na logarytm potęgi: $6{\log }_{7}y={\log }_7{y}^6$, a następnie wzór na logarytm iloczynu:
   $${\log }_{7}x+{\log }_7{y}^6={\log }_7(x\cdot y^6)={\log }_7(x{y}^6)$$

1. Pierwsze zdanie: $f(36)={\log }_{6}36={\log }_6{6}^2=2\ne 6$ — Fałsz (F).
2. Drugie zdanie: podstawa logarytmu $6>1$, więc funkcja logarytmiczna jest rosnąca — Prawda (P).

1. Stosujemy wzór na logarytm ilorazu:
   $${\log }_{2}96-{\log }_{2}3={\log }_2\frac{96}{3}={\log }_{2}32={\log }_2{2}^5=5$$

1. Stosujemy wzór na logarytm iloczynu:
   $${\log }_{9}27+{\log }_{9}3={\log }_9(27\cdot 3)={\log }_{9}81$$
2. Ponieważ $9^2=81$:
   $${\log }_{9}81=2$$

1. Korzystamy ze wzoru na logarytm potęgi $n{\log }_{a}b={\log }_a{b}^n$:
   $$\begin{array}{rl}& 4{\log }_{4}2={\log }_4{2}^4={\log }_{4}16\\ & 2{\log }_{4}8={\log }_4{8}^2={\log }_{4}64\end{array}$$
2. Sumę logarytmów o tej samej podstawie zamieniamy na logarytm iloczynu:
   $${\log }_{4}16+{\log }_{4}64={\log }_4(16\cdot 64)={\log }_{4}1024$$
3. Ponieważ $4^5=1024$, otrzymujemy:
   $${\log }_{4}1024=5$$

1. Podstawiamy $x=\sqrt{10}=10^{\frac{1}{2}}$ i korzystamy ze wzoru na logarytm potęgi:
   $$f\left(\sqrt{10}\right)=-\log 10^{\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}\log 10=-\frac{1}{2}$$