Zbiór zadań

Znaleziono 18 zadań. Losuj z tych filtrów →

1. Oznaczmy długość krawędzi sześcianu przez $a$. Odcinki $AC$, $CH$ i $HA$ są przekątnymi ścian sześcianu, więc trójkąt $ACH$ jest równoboczny o boku:
   $$AC=CH=HA=a\sqrt{2}$$
2. Pole trójkąta równobocznego o boku $s$ wynosi $\frac{s^2\sqrt{3}}{4}$. Podstawiamy $s=a\sqrt{2}$ i porównujemy z daną wartością pola:
3. Upraszczamy i wyznaczamy $a$:
   $$\frac{2a^2\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}⟹a^2=8⟹a=2\sqrt{2}$$

1. Przy podobieństwie w skali $k$ pola powierzchni skalują się jak $k^2$, a objętości jak $k^3$.
2. Pole powierzchni całkowitej walca ${\mathcal{C}}_2$:
   $$k^2\cdot 12\pi =2^2\cdot 12\pi =48\pi$$
3. Zgadza się to z pierwszym stwierdzeniem (P). Objętość walca ${\mathcal{C}}_2$:
   $$k^3\cdot 4\pi =2^3\cdot 4\pi =32\pi$$
4. Zgadza się to z drugim stwierdzeniem (P). Odpowiedź: PP.

1. Oznaczmy promień walca przez $r$ i wspólną wysokość przez $h$. Wtedy promień stożka to $2r$.
2. Objętość stożka:
   $$V_{sto\dot{z}ek}=\frac{1}{3}\pi (2r{)}^{2}h=\frac{4}{3}\pi r^{2}h$$
3. Objętość walca:
   $$V_{walec}=\pi r^{2}h$$
4. Stosunek objętości:
   $$\frac{V_{sto\dot{z}ek}}{V_{walec}}=\frac{\frac{4}{3}\pi r^{2}h}{\pi r^{2}h}=\frac{4}{3}$$

1. Niech $P_p$ oznacza pole podstawy, a $P_b$ pole powierzchni bocznej. Z treści zadania $P_b=4P_p$, a pole całkowite to suma obu pól:
   $$P_p+P_b=P_p+4P_p=5P_p$$
2. Ponieważ pole całkowite jest równe $20$, obliczamy pole podstawy:
   $$5P_p=20⟹P_p=4$$
3. Podstawa ostrosłupa prawidłowego czworokątnego to kwadrat, więc jeśli $a$ jest długością jego krawędzi:
   $$a^2=4⟹a=2$$

1. Kąt rozwarcia stożka to kąt między dwiema tworzącymi w przekroju osiowym, po przeciwnych stronach osi. Wysokość, promień podstawy i tworząca tworzą trójkąt prostokątny, w którym kąt między tworzącą a wysokością (osią stożka) jest równy połowie kąta rozwarcia, czyli $30°$.
2. Tworząca $l=6$ jest przeciwprostokątną tego trójkąta, więc wysokość obliczamy z definicji cosinusa:
   $$h=l\cos 30^{\circ }=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$$

1. Bok sześcianu $a$ spełnia $a^3=729$, czyli $a=9$ (bo $9^3=729$).
2. Długość przekątnej sześcianu o boku $a$ wynosi $a\sqrt{3}$:
   $$d=9\sqrt{3}$$

1. Podstawą graniastosłupa jest sześciokąt foremny o boku $a$. Jego pole wyraża się wzorem $P=\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2$. Korzystamy z danego pola podstawy, aby wyznaczyć $a$:
   $$\begin{array}{rl}& \frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2=15\sqrt{3}\\ & a^2=10\\ & a=\sqrt{10}\end{array}$$
2. Ściana boczna graniastosłupa prawidłowego jest prostokątem o bokach $a$ oraz $h$ (wysokość bryły). Obliczamy jej pole:
   $$P=a\cdot h=\sqrt{10}\cdot 6=6\sqrt{10}$$

1. Najdłuższa przekątna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego łączy wierzchołek podstawy dolnej z wierzchołkiem podstawy górnej leżącym po przeciwnej stronie sześciokąta (naprzeciwko, przez środek figury) - to ona ma największą długość spośród wszystkich odcinków łączących wierzchołki bryły.
2. Kątem nachylenia tej przekątnej do płaszczyzny podstawy jest kąt między nią a jej rzutem prostokątnym na podstawę, czyli między przekątną a najdłuższą przekątną sześciokąta (łączącą te same, przeciwległe wierzchołki podstawy dolnej). Taki układ - kąt przy wierzchołku podstawy, pomiędzy najdłuższą przekątną sześciokąta a odcinkiem biegnącym do przeciwległego wierzchołka górnej podstawy - przedstawia rysunek D.