Matura rozszerzona maj 2025, zadanie 1, rozwiązanie

Funkcje

2 pkt

W warunkach laboratoryjnych obserwowano dynamikę wzrostu liczebności populacji pewnego gatunku bakterii. Liczebność

N

populacji bakterii zmienia się w czasie zgodnie z zależnością wykładniczą

N (t) = N_{0} \cdot k^{t} dla t \geq 0

gdzie:

N_{0}

– liczebność populacji w chwili

t = 0

rozpoczęcia obserwacji,

k

– stała dodatnia, charakterystyczna dla danego gatunku bakterii i dla warunków przeprowadzenia obserwacji,

t

– czas wyrażony w godzinach, liczony od chwili

t = 0

rozpoczęcia obserwacji.

W chwili rozpoczęcia obserwacji liczebność populacji była równa

10000

, a po dwóch godzinach była równa

15625

.

Oblicz, o ile procent wzrastała liczebność populacji tej bakterii w ciągu każdej godziny. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

25%

Z warunków zadania $N (0) = 10000$ . Podstawiamy $t = 0$ do wzoru, żeby wyznaczyć $N_{0}$ :
$10000 = N_{0} \cdot k^{0} ⟹ N_{0} = 10000$
Wiemy też, że $N (2) = 15625$ . Podstawiamy $N_{0}$ oraz $t = 2$ i rozwiązujemy równanie z niewiadomą $k$ (odrzucamy rozwiązanie ujemne, bo $k$ jest stałą dodatnią):
$15625 = 10000 \cdot k^{2} k^{2} = 1, 5625 k = 1, 25$
Obliczamy stosunek liczebności populacji w chwili $t + 1$ do liczebności w chwili $t$ – ten stosunek mówi, ile razy (a więc o ile procent) zwiększa się liczebność w ciągu jednej godziny:
$\frac{N ( t + 1 )}{N ( t )} = \frac{N _{0} \cdot k ^{t + 1}}{N _{0} \cdot k ^{t}} = k = 1, 25$
Ponieważ ten stosunek nie zależy od $t$ , w ciągu każdej godziny liczebność populacji zwiększa się $1, 25$ raza, czyli rośnie o $25%$ .