Matura rozszerzona grudzień 2024, zadanie 13.1, rozwiązanie

Funkcje

2 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{12 x - 84}{x - 8}

dla każdego

x \in (- \infty, 8)

.

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

rozważamy wszystkie czworokąty

O B C D

, w których:

• wierzchołek

O

ma współrzędne

(0, 0)

• wierzchołki

B

oraz

D

są punktami przecięcia wykresu funkcji

f

z osią - odpowiednio -

O x

O y

• wierzchołek

C

ma obie współrzędne dodatnie i leży na wykresie funkcji

f

(zobacz rysunek).

Wykaż, że pole

P

czworokąta

O B C D

w zależności od pierwszej współrzędnej

x

punktu

C

jest określone wzorem

P (x) = \frac{21}{4} \cdot \frac{x ^{2} - 56}{x - 8}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P (x) = \frac{21}{4} \cdot \frac{x ^{2} - 56}{x - 8}

Wyznaczamy współrzędne punktu $B$ (przecięcie wykresu z osią $O x$ ), rozwiązując równanie $f (x) = 0$ :
$\frac{12 x - 84}{x - 8} = 0 12 x - 84 = 0 x = 7 \in (- \infty, 8)$
Zatem $B = (7, 0)$ . Wyznaczamy współrzędne punktu $D$ (przecięcie wykresu z osią $O y$ ), obliczając $f (0)$ :
$f (0) = \frac{12 \cdot 0 - 84}{0 - 8} = \frac{21}{2} ⟹ D = (0, \frac{21}{2})$
Punkt $C$ leży na wykresie funkcji $f$ i ma obie współrzędne dodatnie, więc $C = (x, \frac{12 x - 84}{x - 8})$ , gdzie $0 < x < 7$ .
Przekątna $O C$ dzieli czworokąt $O B C D$ na trójkąty $O C D$ i $O B C$ :

więc pole $P$ jest sumą pól tych trójkątów:
$P = P_{O C D} + P_{O B C} = \frac{1}{2} \cdot \frac{21}{2} \cdot x + \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot \frac{12 x - 84}{x - 8}$
Sprowadzamy do wspólnego mianownika i upraszczamy:
$P = \frac{21}{4} \cdot \frac{x ^{2} - 8 x + 8 x - 56}{x - 8} = \frac{21}{4} \cdot \frac{x ^{2} - 56}{x - 8}, x \in (0, 7)$