Matura rozszerzona grudzień 2024, zadanie 6, rozwiązanie

Wartość bezwzględna

4 pkt

Rozwiąż równanie

∣4 x - 8∣ + ∣ x - 2∣ = ∣2 - x ∣ + ∣ x + 2∣ + 4

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x = \frac{2}{5}

lub

x = \frac{14}{3}

Ponieważ $∣4 x - 8∣ = 4 \cdot ∣ x - 2∣$ oraz $∣2 - x ∣ = ∣ x - 2∣$ dla każdego $x \in R$ , dane równanie można przekształcić równoważnie do postaci:
$4 \cdot ∣ x - 2∣ = ∣ x + 2∣ + 4$
Rozważamy trzy przedziały: $(- \infty, - 2)$ , $[- 2, 2)$ , $[2, + \infty)$ .
Dla $x \in (- \infty, - 2)$ równanie przyjmuje postać:
$- 4 x + 8 = - x - 2 + 4 - 3 x = - 6 x = 2$
Ponieważ $2 \in / (- \infty, - 2)$ , ten przypadek nie daje rozwiązania.
Dla $x \in [- 2, 2)$ równanie przyjmuje postać:
$- 4 x + 8 = x + 2 + 4 - 5 x = - 2 x = \frac{2}{5}$
Ponieważ $\frac{2}{5} \in [- 2, 2)$ , liczba $\frac{2}{5}$ jest rozwiązaniem.
Dla $x \in [2, + \infty)$ równanie przyjmuje postać:
$4 x - 8 = x + 2 + 4 3 x = 14 x = \frac{14}{3}$
Ponieważ $\frac{14}{3} \in [2, + \infty)$ , liczba $\frac{14}{3}$ jest rozwiązaniem.
Ostatecznie rozwiązaniami danego równania są liczby $\frac{2}{5}$ oraz $\frac{14}{3}$ .