Matura rozszerzona grudzień 2024, zadanie 5, rozwiązanie

Prawdopodobieństwo

3 pkt

W pewnej lokalnej społeczności

35%

osób ma wyższe wykształcenie. W tej społeczności językiem niemieckim dobrze włada

70%

osób mających wyższe wykształcenie i

40%

osób bez wyższego wykształcenia.
Spośród członków tej społeczności wybieramy losowo jedną osobę.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wybierzemy osobę z wyższym wykształceniem, jeżeli wiadomo, że ta osoba dobrze włada językiem niemieckim. Wynik zapisz w postaci ułamka dziesiętnego w zaokrągleniu do części setnych. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P (B_{1} ∣ A) \approx 0, 49

Niech $A$ oznacza zdarzenie, że losowo wybrana osoba dobrze włada językiem niemieckim, $B_{1}$ – że ma wyższe wykształcenie, a $B_{2}$ – że nie ma wyższego wykształcenia. Z treści zadania:
$P (B_{1}) = 0, 35, P (B_{2}) = 0, 65$
Prawdopodobieństwa warunkowe władania językiem niemieckim wynoszą:
$P (A ∣ B_{1}) = 0, 7, P (A ∣ B_{2}) = 0, 4$
Szukane prawdopodobieństwo obliczamy z twierdzenia Bayesa:
$P (B_{1} ∣ A) = \frac{P ( B _{1} ) \cdot P ( A ∣ B _{1} )}{P ( A ∣ B _{1} ) \cdot P ( B _{1} ) + P ( A ∣ B _{2} ) \cdot P ( B _{2} )}$
Podstawiamy dane i obliczamy:
$P (B_{1} ∣ A) = \frac{0 , 35 \cdot 0 , 7}{0 , 7 \cdot 0 , 35 + 0 , 4 \cdot 0 , 65} = 0, (4851) \approx 0, 49$