Matura rozszerzona grudzień 2024, zadanie 1, rozwiązanie

Funkcje

2 pkt

Ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze można opisać zależnością

Q (t) = Q_{0} \cdot β^{- t}

dla

t \geq 0

gdzie:

Q_{0}

– ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze w chwili początkowej (

t = 0

) wyrażony w milikulombach,

Q

– ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze w chwili

t

(licząc od chwili początkowej) wyrażony w milikulombach,

β

– stała dodatnia,

t

– czas wyrażony w sekundach.

Wiadomo, że w chwili

t = 4

s w kondensatorze był zgromadzony ładunek

2

milikulombów, a w chwili

t = 6

s – ładunek

18

milikulombów.

Oblicz, ile milikulombów ładunku było zgromadzone w tym kondensatorze w chwili

t = 5

s. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Q (5) = 6

(milikulombów)

Z warunków $Q (4) = 2$ oraz $Q (6) = 18$ zapisujemy dwa równania:
$2 = Q_{0} \cdot β^{- 4} 18 = Q_{0} \cdot β^{- 6}$
Dzielimy te równania stronami, aby wyeliminować $Q_{0}$ , i wyznaczamy $β$ (jako stałą dodatnią):
$\frac{2}{18} = \frac{Q _{0} \cdot β ^{- 4}}{Q _{0} \cdot β ^{- 6}} = β^{2} \frac{1}{9} = β^{2} β = \frac{1}{3}$
Podstawiamy $β = \frac{1}{3}$ do pierwszego równania i wyznaczamy $Q_{0}$ :
$2 = Q_{0} \cdot (\frac{1}{3})^{- 4} ⟹ Q_{0} = \frac{2}{81}$
Obliczamy $Q (5)$ :
$Q (5) = \frac{2}{81} \cdot (\frac{1}{3})^{- 5} = \frac{2}{81} \cdot 3^{5} = 6$
W chwili $t = 5$ s w kondensatorze był zgromadzony ładunek $6$ milikulombów.