Matura rozszerzona maj 2024, zadanie 1, rozwiązanie

Funkcje

2 pkt

W chwili początkowej (

t = 0

) filiżanka z gorącą kawą znajduje się w pokoju, a temperatura tej kawy jest równa

8 0^{\circ} C

. Temperatura w pokoju (temperatura otoczenia) jest stała i równa

2 0^{\circ} C

. Temperatura

T

tej kawy zmienia się w czasie zgodnie z zależnością

T (t) = (T_{p} - T_{z}) \cdot k^{- t} + T_{z}

dla

t \geq 0

, gdzie

T

– temperatura kawy w stopniach Celsjusza,

t

– czas w minutach liczony od chwili początkowej,

T_{p}

– temperatura początkowa kawy,

T_{z}

– temperatura otoczenia,

k

– stała charakterystyczna dla danej cieczy. Po 10 minutach kawa ostygła do temperatury

6 5^{\circ} C

. Oblicz temperaturę tej kawy po następnych pięciu minutach. Wynik podaj w stopniach Celsjusza, w zaokrągleniu do jedności.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

5 9^{\circ} C

Z warunków zadania $T (10) = 65$ , podstawiamy:
$65 = (80 - 20) \cdot k^{- 10} + 20$
Wyznaczamy $k^{- 10}$ :
$k^{- 10} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4}$
Obliczamy temperaturę po 15 minutach od chwili początkowej (czyli 5 minut po chwili $t = 10$ ):
$T (15) = 60 \cdot (k^{- 10})^{1, 5} + 20 = 60 \cdot (\frac{3}{4})^{1, 5} + 20$
Obliczamy wartość:
$60 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{2} + 20 = \frac{45 3}{2} + 20 \approx 59$
Temperatura kawy po następnych pięciu minutach wynosi:
$T (15) \approx 5 9^{\circ} C$