Matura podstawowa grudzień 2024, zadanie 17.2, rozwiązanie

Trygonometria

1 pkt

Dany jest trójkąt prostokątny

A B C

, w którym

∣ A C ∣ = 15

∣ B C ∣ = 8

. Na przyprostokątnej

A B

leży taki punkt

D

, że

∣ B D ∣ = 6

.

Tangens kąta ostrego

A D C

jest równy

Poprawna odpowiedź

15

Obliczamy $∣ A B ∣$ z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $A B C$ :
$∣ A B ∣^{2} = ∣ B C ∣^{2} - ∣ A C ∣^{2} = 64 - 15 = 49 ⟹ ∣ A B ∣ = 7$
Mamy $∣ A D ∣ = ∣ A B ∣ - ∣ B D ∣ = 7 - 6 = 1$ . W trójkącie $A D C$ (prostokątnym przy $A$ ):
$t g ∠ A D C = \frac{∣ A C ∣}{∣ A D ∣} = \frac{15}{1} = 15$