Matura podstawowa grudzień 2023, zadanie 23, rozwiązanie

Planimetria

1 pkt

W rombie

A B C D

dłuższa przekątna

A C

ma długość

12

i tworzy z bokiem

A B

kąt o mierze

30°

(zobacz rysunek).

Pole rombu

A B C D

jest równe

Poprawna odpowiedź

243

Połowa dłuższej przekątnej: $\frac{A C}{2} = 6$ . Bok rombu $A B$ : w trójkącie prostokątnym $cos 30° = \frac{6}{A B}$ , więc $A B = \frac{6}{cos 30°} = \frac{6}{\frac{3}{2}} = 43$ .
Połowa krótszej przekątnej: $B D /2 = A B \cdot sin 30° = 43 \cdot \frac{1}{2} = 23$ , zatem $B D = 43$ .
Pole rombu:
$P = \frac{A C \cdot B D}{2} = \frac{12 \cdot 4 3}{2} = 243$