Matura podstawowa marzec 2026, zadanie 25, rozwiązanie

Geometria przestrzenna

1 pkt

Dany jest sześcian

A B C D E F G H

(zobacz rysunek). Pole trójkąta

A C H

jest równe

43

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość krawędzi tego sześcianu jest równa

Poprawna odpowiedź

22

Oznaczmy długość krawędzi sześcianu przez $a$ . Odcinki $A C$ , $C H$ i $H A$ są przekątnymi ścian sześcianu, więc trójkąt $A C H$ jest równoboczny o boku:
$A C = C H = H A = a 2$
Pole trójkąta równobocznego o boku $s$ wynosi $\frac{s ^{2} 3}{4}$ . Podstawiamy $s = a 2$ i porównujemy z daną wartością pola:
$\frac{( a 2 ) ^{2} 3}{4} = 43$
Upraszczamy i wyznaczamy $a$ :
$\frac{2 a ^{2} 3}{4} = 43 ⟹ a^{2} = 8 ⟹ a = 22$