Matura podstawowa maj 2026, zadanie 5, rozwiązanie

Potęgi i pierwiastki

1 pkt

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Liczba naturalna $4^{12} \cdot 5^{24}$ jest podzielna przez $20$ .	P	F
Liczba naturalna $4^{12} \cdot 5^{24}$ jest w zapisie dziesiętnym liczbą $25$ -cyfrową.	P	F

Poprawna odpowiedź

Zapisujemy $4^{12} = (2^{2})^{12} = 2^{24}$ , więc:
$4^{12} \cdot 5^{24} = 2^{24} \cdot 5^{24} = (2 \cdot 5)^{24} = 1 0^{24}$
Liczba $1 0^{24} = 2^{24} \cdot 5^{24}$ jest podzielna przez $20 = 2^{2} \cdot 5$ , bo wynik ich dzielenia jest liczbą całkowitą:
$\frac{2 ^{24} \cdot 5 ^{24}}{2 ^{2} \cdot 5 ^{1}} = 2^{22} \cdot 5^{23}$
Liczba $1 0^{24}$ w zapisie dziesiętnym to cyfra $1$ i $24$ zera, czyli ma $25$ cyfr.