Matura podstawowa maj 2025, zadanie 10, rozwiązanie

Nierówności

2 pkt

Rozwiąż nierówność

3 (2 x^{2} + 1) < 11 x

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x \in (\frac{1}{3}, \frac{3}{2})

Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę i porządkujemy:
$3 (2 x^{2} + 1) < 11 x 6 x^{2} + 3 - 11 x < 0 6 x^{2} - 11 x + 3 < 0$
Obliczamy wyróżnik trójmianu $6 x^{2} - 11 x + 3$ :
$Δ = (- 11)^{2} - 4 \cdot 6 \cdot 3 = 121 - 72 = 49$
Wyznaczamy miejsca zerowe:
$x_{1} = \frac{11 - 7}{12} = \frac{1}{3}, x_{2} = \frac{11 + 7}{12} = \frac{3}{2}$
Współczynnik przy $x^{2}$ jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane do góry. Szukamy argumentów, dla których wartości funkcji są ujemne (bo mamy znak $< 0$ ) – to przedział między miejscami zerowymi:
$x \in (\frac{1}{3}, \frac{3}{2})$