Matura podstawowa maj 2024, zadanie 20, rozwiązanie

Planimetria

1 pkt

Dany jest trójkąt

K L M

, w którym

∣ K M ∣ = a

∣ L M ∣ = b

oraz

a \neq = b

. Dwusieczna kąta

K M L

przecina bok

K L

w punkcie

N

takim, że

∣ K N ∣ = c

∣ N L ∣ = d

oraz

∣ M N ∣ = e

(zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

W trójkącie

K L M

prawdziwa jest równość

Poprawna odpowiedź

a \cdot d = b \cdot c

Z twierdzenia o dwusiecznej kąta wiemy, że dwusieczna kąta $K M L$ dzieli przeciwległy bok $K L$ na odcinki proporcjonalne do boków, między którymi ten kąt jest zawarty:
$\frac{∣ K N ∣}{∣ N L ∣} = \frac{∣ K M ∣}{∣ L M ∣}$
Podstawiamy oznaczenia z treści zadania:
$\frac{c}{d} = \frac{a}{b}$
Mnożymy obie strony na krzyż:
$a \cdot d = b \cdot c$