Matura podstawowa maj 2024, zadanie 18, rozwiązanie

Trygonometria

2 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

zaznaczono kąt o mierze

α

taki, że

tg α = - 3

oraz

90° < α < 180°

(zobacz rysunek).

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.

Prawdziwe są zależności: ………… oraz ………… .

A.

sin α < 0

sin α \cdot cos α < 0

sin α \cdot cos α > 0

cos α > 0

sin α = - \frac{1}{3} cos α

sin α = - 3 cos α

Zaznacz dwie odpowiedzi.

Poprawna odpowiedź

Kąt $α$ należy do drugiej ćwiartki układu współrzędnych ( $90° < α < 180°$ ), więc $sin α > 0$ oraz $cos α < 0$ .
Skoro sinus jest dodatni, a kosinus ujemny, ich iloczyn jest ujemny:
$sin α \cdot cos α < 0$
To odpowiada zależności B, jednocześnie wykluczając A ( $sin α < 0$ jest fałszywe), C i D.
Z definicji tangensa mamy $tg α = \frac{sin α}{cos α} = - 3$ , co po przekształceniu daje:
$sin α = - 3 cos α$
To odpowiada zależności F (zależność E odpowiadałaby $tg α = - \frac{1}{3}$ , co jest niezgodne z treścią zadania).