Matura podstawowa maj 2024, zadanie 15, rozwiązanie

Ciągi

1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = (- 1)^{n} \cdot (n - 5)

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pierwszy wyraz ciągu $(a_{n})$ jest dwa razy większy od trzeciego wyrazu tego ciągu.	P	F
Wszystkie wyrazy ciągu $(a_{n})$ są dodatnie.	P	F

Poprawna odpowiedź

Obliczamy pierwszy i trzeci wyraz ciągu:
$a_{1} = (- 1)^{1} \cdot (1 - 5) = 4, a_{3} = (- 1)^{3} \cdot (3 - 5) = 2$
Wyraz $a_{1} = 4$ jest rzeczywiście dwa razy większy od wyrazu $a_{3} = 2$ , więc pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe (P).
Obliczamy drugi wyraz ciągu:
$a_{2} = (- 1)^{2} \cdot (2 - 5) = - 3$
Ponieważ $a_{2} = - 3 < 0$ , nie wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie – drugie stwierdzenie jest fałszywe (F).
Dodatkowo wyrażenie $(- 1)^{n}$ jest zawsze ujemne dla nieparzystych $n$ i dodatnie dla parzystych, więc od pewnego momentu ten ciąg będzie zmieniał znak z plusa na minus co wyraz.