Matura podstawowa maj 2022, zadanie 2, rozwiązanie

Wyrażenia algebraiczne

1 pkt

Dodatnie liczby

x

y

spełniają warunek

2 x = 3 y

. Wynika stąd, że wartość wyrażenia

\frac{x ^{2} + y ^{2}}{x \cdot y}

jest równa

Poprawna odpowiedź

\frac{13}{6}

Z warunku $2 x = 3 y$ wyznaczamy $x$ w zależności od $y$ :
$x = \frac{3}{2} y$
Podstawiamy do licznika i mianownika wyrażenia:
$x^{2} + y^{2} = (\frac{3}{2} y)^{2} + y^{2} = \frac{9}{4} y^{2} + y^{2} = \frac{13}{4} y^{2} x \cdot y = \frac{3}{2} y \cdot y = \frac{3}{2} y^{2}$
Dzielimy licznik przez mianownik (upraszczamy $y^{2}$ , bo $y > 0$ ):
$\frac{x ^{2} + y ^{2}}{x \cdot y} = \frac{\frac{13}{4} y ^{2}}{\frac{3}{2} y ^{2}} = \frac{13}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{13}{6}$