# Zadanie 12.2, matura rozszerzona maj 2026

- Arkusz: [Matura rozszerzona maj 2026](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2026/maj)
- Dział: Pochodne
- Rodzaj: otwarte, 4 pkt, trudność 4/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2026/maj/zadanie-12-2

## Treść

Pole $P$ trójkątnego kwietnika o podstawie długości $x$ metrów jest określone wzorem

$P(x) = \dfrac{2x^3}{x^2-16}$

dla każdego $x \in (4, 10]$.

Wyznacz długość $x$ podstawy trójkątnego kwietnika, dla której pole tego kwietnika jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.

## Odpowiedź

$x = 4\sqrt{3}$, najmniejsze pole $P = 12\sqrt{3} \text{ m}^2$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Pochodną liczymy ze wzoru na pochodną ilorazu.

   $$\begin{aligned}&\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g-fg'}{g^2} \\[8pt] &P'(x) = \dfrac{6x^2 \cdot (x^2-16) - 2x^3 \cdot 2x}{(x^2-16)^2} = \dfrac{2x^4-96x^2}{(x^2-16)^2} = \dfrac{2x^2(x^2-48)}{(x^2-16)^2}\end{aligned}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium