# Zadanie 12.1, matura rozszerzona maj 2026

- Arkusz: [Matura rozszerzona maj 2026](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2026/maj)
- Dział: Planimetria
- Rodzaj: otwarte, 3 pkt, trudność 3/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2026/maj/zadanie-12-1

## Treść

W projekcie ogrodu zaplanowano kwietnik w kształcie trójkąta równoramiennego o podstawie długości $x$ metrów nieprzekraczającej $10$ metrów. Na tym kwietniku ma znajdować się fontanna w kształcie koła o średnicy $4$ metrów, które ma być styczne do każdego z boków trójkątnego kwietnika (zobacz rysunek). Projektantowi zależy, aby przy tak ustalonej wielkości fontanny pole tego kwietnika było najmniejsze.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2026/maj/zadanie-12-1)*

Wykaż, że pole $P$ (wyrażone w metrach kwadratowych) trójkątnego kwietnika o podstawie długości $x$ metrów jest określone wzorem

$P(x) = \dfrac{2x^3}{x^2 - 16}$

## Odpowiedź

Dowód – patrz rozwiązanie.

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Kwietnik to trójkąt równoramienny $ABC$ o podstawie $AB$, a fontanna to okrąg wpisany w ten trójkąt. Wprowadzamy oznaczenia:
<ul><li>$x = |AB|$ - długość podstawy</li><li>$h = |CD|$ - wysokość opuszczona na podstawę</li><li>$b = |AC|$ - długość ramienia</li><li>$S$ - środek okręgu, jego promień to $r = 2$, bo średnica fontanny wynosi $4$</li><li>$E$ - punkt styczności okręgu z ramieniem $AC$</li></ul>

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2026/maj/zadanie-12-1)*

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium