# Zadanie 4, matura rozszerzona maj 2026

- Arkusz: [Matura rozszerzona maj 2026](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2026/maj)
- Dział: Planimetria
- Rodzaj: otwarte, 3 pkt, trudność 4/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2026/maj/zadanie-04

## Treść

Punkty $K$ i $L$ są środkami – odpowiednio – boków $AB$ i $BC$ kwadratu $ABCD$ o boku długości $a$. Punkt $M$ jest takim punktem na boku $BC$, że odcinki $DK$ i $KM$ są prostopadłe.

Odcinek $AL$ przecina odcinki $DK$ oraz $DM$ w punktach – odpowiednio – $P$ oraz $Q$ (zobacz rysunek).

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2026/maj/zadanie-04)*

Wykaż, że $|PQ| = \dfrac{\sqrt{5}}{5}a$.

## Odpowiedź

$|PQ| = \dfrac{4}{5}|KM| = \dfrac{\sqrt{5}}{5}a$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Oznaczamy $|\angle ADK|=\alpha$. Trójkąt $DAK$ jest prostokątny, bo kąt przy $A$ jest kątem kwadratu, więc jego kąty ostre sumują się do $90^\circ$.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2026/maj/zadanie-04)*

   $$\angle DKA = 90^\circ - \alpha$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium