# Zadanie 3, matura rozszerzona maj 2026

- Arkusz: [Matura rozszerzona maj 2026](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2026/maj)
- Dział: Dowody algebraiczne
- Rodzaj: otwarte, 3 pkt, trudność 3/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2026/maj/zadanie-03

## Treść

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} \leq \dfrac{x}{y^2}+\dfrac{y}{x^2}$

## Odpowiedź

Nierówność jest równoważna $(x+y)(x-y)^2 \geq 0$, co jest zawsze prawdziwe dla $x,y>0$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Liczba $x^2y^2$ jest dodatnia, więc mnożymy przez nią obie strony nierówności bez zmiany znaku.

   $$xy^2+yx^2 \leq x^3+y^3$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium