# Zadanie 15.2, matura rozszerzona maj 2026 (F. 2015)

- Arkusz: [Matura rozszerzona maj 2026 (F. 2015)](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2026/maj-formula-2015)
- Dział: Pochodne
- Rodzaj: otwarte, 4 pkt, trudność 4/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2026/maj-formula-2015/zadanie-15-2

## Treść

W projekcie ogrodu zaplanowano kwietnik w kształcie trójkąta równoramiennego o podstawie długości $x$ metrów nieprzekraczającej $10$ metrów. Na tym kwietniku ma znajdować się fontanna w kształcie koła o średnicy $4$ metrów, które ma być styczne do każdego z boków trójkątnego kwietnika (zobacz rysunek). Projektantowi zależy, aby przy tak ustalonej wielkości fontanny pole tego kwietnika było najmniejsze.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2026/maj-formula-2015/zadanie-15-2)*

Pole $P$ trójkątnego kwietnika o podstawie długości $x$ metrów jest określone wzorem

$P(x) = \dfrac{2x^3}{x^2-16}$

dla każdego $x \in (4, 10\rangle$.

Wyznacz długość $x$ podstawy trójkątnego kwietnika, dla której pole tego kwietnika jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.

## Odpowiedź

$x = 4\sqrt{3}$, $P_{min} = 12\sqrt{3}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Wyznaczamy pochodną funkcji $P$ dla $x\in(4,10\rangle$, korzystając ze wzoru na pochodną ilorazu.

   $$\begin{aligned}&P'(x) = \dfrac{6x^2(x^2-16)-2x^3\cdot2x}{(x^2-16)^2} \\[8pt] &P'(x) = \dfrac{6x^4-96x^2-4x^4}{(x^2-16)^2} \\[8pt] &P'(x) = \dfrac{2x^2(x^2-48)}{(x^2-16)^2}\end{aligned}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium