# Zadanie 5, matura rozszerzona maj 2026 (F. 2015)

- Arkusz: [Matura rozszerzona maj 2026 (F. 2015)](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2026/maj-formula-2015)
- Dział: Ciągi
- Rodzaj: otwarte, 2 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2026/maj-formula-2015/zadanie-05

## Treść

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem rekurencyjnym

$\begin{cases} a_1 = \sqrt{2} \\ a_{n+1} = \dfrac{4}{a_n} \end{cases}$ dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$.

Oblicz dziesiąty wyraz tego ciągu.
W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

## Odpowiedź

$8, 2, 8$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Obliczamy kolejne wyrazy ciągu, korzystając ze wzoru rekurencyjnego.

   $$\begin{aligned}&a_1 = \sqrt{2} \\[8pt] &a_2 = \dfrac{4}{a_1} = \dfrac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \\[8pt] &a_3 = \dfrac{4}{a_2} = \dfrac{4}{2\sqrt{2}} = \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\end{aligned}$$

2. Zauważamy, że $a_3 = a_1$, więc ciąg jest okresowy z okresem $2$. Dla $n$ nieparzystych $a_n=\sqrt{2}$, a dla $n$ parzystych $a_n=2\sqrt{2}$.

3. Liczba $10$ jest parzysta, więc $a_{10} = 2\sqrt{2}$. Zapisujemy przybliżenie dziesiętne tej liczby.

   $$a_{10} = 2\sqrt{2} = 2{,}828427\ldots$$

4. Odczytujemy pierwszą, drugą i trzecią cyfrę po przecinku.

   $$8, 2, 8$$