# Zadanie 2, matura rozszerzona maj 2026 (F. 2015)

- Arkusz: [Matura rozszerzona maj 2026 (F. 2015)](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2026/maj-formula-2015)
- Dział: Ciągi
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2026/maj-formula-2015/zadanie-02

## Treść

Ciąg geometryczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$. Iloraz tego ciągu jest równy $\dfrac{2}{3}$, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa $\dfrac{9}{4}$.
Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

A. $\dfrac{3}{4} \qquad\qquad$ B. $\dfrac{4}{3} \qquad\qquad$ C. $\dfrac{3}{2} \qquad\qquad$ D. $\dfrac{27}{4}$

## Odpowiedź

A. $\dfrac{3}{4}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Korzystamy ze wzoru na sumę nieskończonego szeregu geometrycznego $S = \dfrac{a_1}{1-q}$ i podstawiamy dane $S=\dfrac{9}{4}$ oraz $q=\dfrac{2}{3}$.

   $$\dfrac{9}{4} = \dfrac{a_1}{1-\frac{2}{3}}$$

2. Upraszczamy mianownik po prawej stronie i wyznaczamy $a_1$.

   $$\begin{aligned}&\dfrac{9}{4} = \dfrac{a_1}{\frac{1}{3}} \\[8pt] &\dfrac{9}{4} = 3a_1 \\[8pt] &a_1 = \dfrac{3}{4}\end{aligned}$$