# Zadanie 13.2, matura rozszerzona czerwiec 2026

- Arkusz: [Matura rozszerzona czerwiec 2026](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2026/czerwiec)
- Dział: Pochodne
- Rodzaj: otwarte, 4 pkt, trudność 4/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2026/czerwiec/zadanie-13-2

## Treść

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne $ABC$, w których $C=(0,0)$, wierzchołek $B$ leży na dodatniej półosi $Oy$, wierzchołek $A$ leży na dodatniej półosi $Ox$, natomiast bok $AB$ jest zawarty w prostej przechodzącej przez punkt $K=(1,2)$.

Pole $P$ trójkąta $ABC$ w zależności od współczynnika kierunkowego $a$ prostej $AB$ jest określone wzorem

$P(a) = \dfrac{-a^2+4a-4}{2a}$

dla $a<0$.

Wyznacz równanie prostej zawierającej przeciwprostokątną $AB$ tego z rozważanych trójkątów, który ma najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.

## Odpowiedź

$y = -2x+4$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Szukamy najmniejszej wartości funkcji $P$ dla $a<0$, więc liczymy pochodną ze wzoru na pochodną ilorazu.

   $$\begin{aligned}&\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v-uv'}{v^2} \\[8pt] &P'(a) = \dfrac{(-2a+4)\cdot 2a - (-a^2+4a-4)\cdot 2}{(2a)^2} \\[8pt] &P'(a) = \dfrac{-4a^2+8a+2a^2-8a+8}{(2a)^2} = \dfrac{-2a^2+8}{(2a)^2}\end{aligned}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium