# Zadanie 13.1, matura rozszerzona czerwiec 2026

- Arkusz: [Matura rozszerzona czerwiec 2026](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2026/czerwiec)
- Dział: Geometria analityczna
- Rodzaj: otwarte, 2 pkt, trudność 3/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2026/czerwiec/zadanie-13-1

## Treść

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne $ABC$, w których $C=(0,0)$, wierzchołek $B$ leży na dodatniej półosi $Oy$, wierzchołek $A$ leży na dodatniej półosi $Ox$, natomiast bok $AB$ jest zawarty w prostej przechodzącej przez punkt $K=(1,2)$.

Wykaż, że pole $P$ trójkąta $ABC$ w zależności od współczynnika kierunkowego $a$ prostej $AB$ jest określone wzorem

$P(a) = \dfrac{-a^2+4a-4}{2a}$

## Odpowiedź

$P(a) = \dfrac{-a^2+4a-4}{2a}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Prosta $AB$ przechodzi przez punkt $K=(1,2)$ i ma współczynnik kierunkowy $a$.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2026/czerwiec/zadanie-13-1)*

   $$\begin{aligned}&y = a(x-x_K)+y_K \\[8pt] &y = a(x-1)+2 = ax + (2-a)\end{aligned}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium