# Zadanie 12, matura rozszerzona czerwiec 2026

- Arkusz: [Matura rozszerzona czerwiec 2026](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2026/czerwiec)
- Dział: Geometria przestrzenna
- Rodzaj: otwarte, 5 pkt, trudność 5/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2026/czerwiec/zadanie-12

## Treść

Ostrosłup prawidłowy czworokątny $ABCDS$ o podstawie $ABCD$ ma objętość równą $36\sqrt{3}$. Ten ostrosłup przecięto płaszczyzną $\gamma$, która:

• jest prostopadła do ściany bocznej $CDS$ ostrosłupa
• przechodzi przez środek $K$ krawędzi $AD$ oraz środek $L$ krawędzi $BC$
• przecina krawędź boczną $CS$ w punkcie $M$ oraz krawędź boczną $DS$ w punkcie $N$
• tworzy z płaszczyzną podstawy $ABCD$ kąt o mierze $30°$.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2026/czerwiec/zadanie-12)*

Przekrój $KLMN$ wyznaczony przez płaszczyznę $\gamma$ jest trapezem równoramiennym.

Oblicz pole trapezu $KLMN$. Zapisz obliczenia.

## Odpowiedź

$P_{KLMN} = \dfrac{63\sqrt{3}}{8}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Wprowadzamy oznaczenia:
<ul><li>$a$ - długość krawędzi podstawy</li><li>$H$ - wysokość ostrosłupa</li><li>$P$ - środek odcinka $KL$</li><li>$Q$ - środek krawędzi $CD$</li><li>$R$ - środek odcinka $MN$</li></ul>Odcinek $KL$ łączy środki przeciwległych boków kwadratu, więc $|KL|=a$, a punkt $P$ jest środkiem kwadratu, czyli spodkiem wysokości ostrosłupa.

   $$|PQ| = \dfrac{a}{2}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium