# Zadanie 7, matura rozszerzona czerwiec 2026

- Arkusz: [Matura rozszerzona czerwiec 2026](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2026/czerwiec)
- Dział: Ciągi
- Rodzaj: otwarte, 4 pkt, trudność 4/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2026/czerwiec/zadanie-07

## Treść

Nieskończony ciąg geometryczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa $14$. Suma sześcianów wszystkich wyrazów ciągu $(a_n)$ jest równa $392$.

Wyznacz wzór ogólny na $n$-ty wyraz ciągu $(a_n)$. Zapisz obliczenia.

## Odpowiedź

$a_n = 7\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Oznaczamy przez $q$ iloraz ciągu. Suma wszystkich wyrazów istnieje, więc $|q|<1$ i korzystamy ze wzoru na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego.

   $$\begin{aligned}&S = \dfrac{a_1}{1-q} \\[8pt] &\dfrac{a_1}{1-q} = 14, \quad |q| < 1\end{aligned}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium