# Zadanie 4, matura rozszerzona czerwiec 2026 (F. 2015)

- Arkusz: [Matura rozszerzona czerwiec 2026 (F. 2015)](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2026/czerwiec-formula-2015)
- Dział: Trygonometria
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2026/czerwiec-formula-2015/zadanie-04

## Treść

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = \sin^4 x + \cos^4 x$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$.
Największa wartość funkcji $f$ jest równa

A. $0 \qquad\qquad$ B. $\dfrac{1}{2} \qquad\qquad$ C. $1 \qquad\qquad$ D. $2$

## Odpowiedź

C. $1$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Przekształcamy wzór funkcji, korzystając z jedynki trygonometrycznej i wzoru skróconego mnożenia.

   $$\begin{aligned}f(x) &= \sin^4 x + \cos^4 x \\[8pt] &= (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x \\[8pt] &= 1 - 2\sin^2 x\cos^2 x\end{aligned}$$

2. Korzystamy ze wzoru $2\sin x\cos x = \sin 2x$, więc $2\sin^2 x\cos^2 x = \dfrac{1}{2}\sin^2 2x$.

   $$f(x) = 1 - \dfrac{1}{2}\sin^2 2x$$

3. Wyrażenie $\sin^2 2x$ przyjmuje wartości z przedziału $[0,1]$, więc $f$ osiąga największą wartość, gdy $\sin^2 2x = 0$.

   $$f_{max} = 1 - \dfrac{1}{2}\cdot 0 = 1$$