# Zadanie 2, matura rozszerzona czerwiec 2026 (F. 2015)

- Arkusz: [Matura rozszerzona czerwiec 2026 (F. 2015)](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2026/czerwiec-formula-2015)
- Dział: Pochodne
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2026/czerwiec-formula-2015/zadanie-02

## Treść

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 7$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$.
Funkcja $f$ ma dokładnie

A. jedno ekstremum lokalne – dla $x = -1$.
B. jedno ekstremum lokalne – dla $x = 0$.
C. jedno ekstremum lokalne – dla $x = 1$.
D. dwa ekstrema lokalne – dla $x = 0$ oraz dla $x = 1$.

## Odpowiedź

C. jedno ekstremum lokalne – dla $x = 1$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Liczymy pochodną funkcji $f$ i rozkładamy ją na czynniki.

   $$f'(x) = 12x^3 - 12x^2 = 12x^2(x-1)$$

2. Miejsca zerowe pochodnej to $x=0$ oraz $x=1$. Badamy znak $f'$ w kolejnych przedziałach – czynnik $12x^2$ jest zawsze nieujemny, więc o znaku $f'$ decyduje czynnik $(x-1)$.

   $$\begin{aligned}&x<0: \quad f'(x)<0 \\[8pt] &0<x<1: \quad f'(x)<0 \\[8pt] &x>1: \quad f'(x)>0\end{aligned}$$

3. W punkcie $x=0$ pochodna nie zmienia znaku (jest ujemna po obu stronach), więc to nie jest ekstremum. W punkcie $x=1$ znak zmienia się z ujemnego na dodatni, więc funkcja $f$ ma tam jedyne ekstremum lokalne – minimum.