# Zadanie 1, matura rozszerzona czerwiec 2026 (F. 2015)

- Arkusz: [Matura rozszerzona czerwiec 2026 (F. 2015)](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2026/czerwiec-formula-2015)
- Dział: Ciągi
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2026/czerwiec-formula-2015/zadanie-01

## Treść

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny $\left(\dfrac{\sqrt{3}+1}{4},\ \dfrac{1}{2},\ \dfrac{\sqrt{3}-1}{2},\ 2-\sqrt{3},\ \ldots\right)$.
Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

A. $\dfrac{5+3\sqrt{3}}{4} \qquad\qquad$ B. $\dfrac{\sqrt{3}+1}{2} \qquad\qquad$ C. $\dfrac{\sqrt{3}+1}{4(\sqrt{3}-1)} \qquad\qquad$ D. $\dfrac{(\sqrt{3}+1)^2}{4(\sqrt{3}+3)}$

## Odpowiedź

A. $\dfrac{5+3\sqrt{3}}{4}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Wyznaczamy iloraz ciągu geometrycznego, dzieląc drugi wyraz przez pierwszy.

   $$q = \dfrac{1}{2} : \dfrac{\sqrt{3}+1}{4} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{\sqrt{3}+1} = \dfrac{2}{\sqrt{3}+1}$$

2. Usuwamy niewymierność z mianownika, mnożąc przez $\sqrt{3}-1$.

   $$q = \dfrac{2}{\sqrt{3}+1} \cdot \dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} = \dfrac{2(\sqrt{3}-1)}{3-1} = \sqrt{3}-1$$

3. Iloraz spełnia $|q|<1$, więc ciąg ma sumę nieskończoną. Korzystamy ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego.

   $$S = \dfrac{a_1}{1-q} = \dfrac{\frac{\sqrt{3}+1}{4}}{1-(\sqrt{3}-1)} = \dfrac{\frac{\sqrt{3}+1}{4}}{2-\sqrt{3}}$$

4. Usuwamy niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez $2+\sqrt{3}$.

   $$\begin{aligned}S &= \dfrac{\sqrt{3}+1}{4(2-\sqrt{3})} \cdot \dfrac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} \\[8pt] &= \dfrac{(\sqrt{3}+1)(2+\sqrt{3})}{4(4-3)} \\[8pt] &= \dfrac{2\sqrt{3}+3+2+\sqrt{3}}{4} \\[8pt] &= \dfrac{5+3\sqrt{3}}{4}\end{aligned}$$