# Zadanie 12.2, matura rozszerzona maj 2025

- Arkusz: [Matura rozszerzona maj 2025](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2025/maj)
- Dział: Pochodne
- Rodzaj: otwarte, 4 pkt, trudność 4/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2025/maj/zadanie-12-2

## Treść

Objętość $V$ stożka, jako funkcja wysokości $h$ stożka, wyraża się wzorem

$V(h) = \dfrac{\pi}{3}\cdot\dfrac{25h^3}{h^2-25}$

dla $h \in (5, +\infty)$.

Wyznacz wysokość tego z rozważanych stożków, którego objętość jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą objętość. Zapisz obliczenia.

## Odpowiedź

$h = 5\sqrt{3}$, najmniejsza objętość $V_{min} = \dfrac{125\sqrt{3}\,\pi}{2}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Wyznaczamy pochodną funkcji $V$, traktując ją jako iloraz funkcji $25h^3$ i $h^2-25$:

   $$V'(h) = \dfrac{\pi}{3}\cdot\dfrac{75h^2\left(h^2-25\right)-25h^3\cdot2h}{\left(h^2-25\right)^2}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium