# Zadanie 12.1, matura rozszerzona maj 2025

- Arkusz: [Matura rozszerzona maj 2025](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2025/maj)
- Dział: Geometria przestrzenna
- Rodzaj: otwarte, 2 pkt, trudność 3/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2025/maj/zadanie-12-1

## Treść

Rozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od $5$, a odległość środka podstawy od tworzącej jest równa $5$.

Wykaż, że objętość $V$ stożka, jako funkcja wysokości $h$ stożka, wyraża się wzorem

$V(h) = \dfrac{\pi}{3}\cdot\dfrac{25h^3}{h^2-25}$

## Odpowiedź

$r^2 = \dfrac{25h^2}{h^2-25}$, więc $V(h) = \dfrac13\pi r^2h = \dfrac{\pi}{3}\cdot\dfrac{25h^3}{h^2-25}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Rozpatrujemy dowolny z rozważanych stożków. Niech $A,B,C$ będą wierzchołkami trójkąta, który jest przekrojem osiowym stożka, $D$ – środkiem podstawy stożka, $E$ – spodkiem wysokości trójkąta $DBC$ opuszczonej z wierzchołka $D$ na bok $BC$, $r$ – promieniem podstawy stożka, $h$ – wysokością stożka.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2025/maj/zadanie-12-1)*

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium