# Zadanie 11, matura rozszerzona maj 2025

- Arkusz: [Matura rozszerzona maj 2025](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2025/maj)
- Dział: Funkcja kwadratowa
- Rodzaj: otwarte, 6 pkt, trudność 5/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2025/maj/zadanie-11

## Treść

Funkcja $f$ jest określona wzorem

$f(x) = (2-m)x^2 - 2(2m+1)x + m + 8$

dla każdej liczby rzeczywistej $x$, gdzie $m$ jest liczbą rzeczywistą różną od $2$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których funkcja $f$ ma dokładnie dwa miejsca zerowe $x_1$ oraz $x_2$ tego samego znaku, które spełniają warunek

$(x_1-x_2)^2 \leq 180$

Zapisz obliczenia.

## Odpowiedź

$m \in (-8, -3) \cup \left(1, \dfrac{3}{2}\right]$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Funkcja $f$ jest kwadratowa (bo $m\neq2$) i ma dokładnie dwa miejsca zerowe tylko wtedy, gdy wyróżnik trójmianu jest dodatni. Obliczamy wyróżnik:

   $$\begin{aligned}&\Delta = \left[-2(2m+1)\right]^2 - 4(2-m)(m+8) \\[8pt] &\Delta = 16m^2+16m+4+4m^2+24m-64 \\[8pt] &\Delta = 20m^2+40m-60\end{aligned}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium