# Zadanie 8, matura rozszerzona maj 2025

- Arkusz: [Matura rozszerzona maj 2025](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2025/maj)
- Dział: Geometria analityczna
- Rodzaj: otwarte, 5 pkt, trudność 4/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2025/maj/zadanie-08

## Treść

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dane są okręgi $\mathcal{O}_1$ oraz $\mathcal{O}_2$ o równaniach:

• $\mathcal{O}_1 : (x-1)^2 + (y+3)^2 = 5$
• $\mathcal{O}_2 : (x-2)^2 + (y-4)^2 = 45$

Te okręgi przecinają się w punktach $A$ oraz $B$. Punkt $A$ ma pierwszą współrzędną dodatnią. Punkt $M$ spełnia warunek $\overrightarrow{AM} = -2 \cdot \overrightarrow{BM}$.

Oblicz współrzędne punktów $A$, $B$ oraz $M$. Zapisz obliczenia.

## Odpowiedź

$A = \left(\dfrac{16}{5}, -\dfrac{13}{5}\right)$, $B = (-1, -2)$, $M = \left(\dfrac{2}{5}, -\dfrac{11}{5}\right)$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Poglądowo, okręgi $\mathcal{O}_1$ i $\mathcal{O}_2$ przecinają się w dwóch punktach $A$ i $B$:

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2025/maj/zadanie-08)*

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium