# Zadanie 6, matura rozszerzona maj 2025

- Arkusz: [Matura rozszerzona maj 2025](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2025/maj)
- Dział: Ciągi
- Rodzaj: otwarte, 4 pkt, trudność 4/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2025/maj/zadanie-06

## Treść

Ciąg $(a_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$, jest geometryczny i zbieżny. W tym ciągu $a_1 + a_3 = 20$ i $a_1^2 + a_3^2 = 328$.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.

## Odpowiedź

$S = 27$ lub $S = \dfrac{27}{2}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Niech $q$ oznacza iloraz ciągu $(a_n)$. Z warunku $a_1+a_3=20$ mamy $a_3 = 20 - a_1$. Podstawiamy do drugiego warunku:

   $$\begin{aligned}&a_1^2 + (20-a_1)^2 = 328 \\[8pt] &2a_1^2 - 40a_1 + 72 = 0 \\[8pt] &a_1 = 2 \quad \lor \quad a_1 = 18\end{aligned}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium