# Zadanie 2, matura rozszerzona maj 2025

- Arkusz: [Matura rozszerzona maj 2025](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2025/maj)
- Dział: Dowody algebraiczne
- Rodzaj: otwarte, 3 pkt, trudność 3/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2025/maj/zadanie-02

## Treść

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $a$ i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $b$ takich, że $b \neq \dfrac{1}{2}a$, prawdziwa jest nierówność

$(a + 2b)^3 > 8a^2b + 16ab^2$

## Odpowiedź

$(a+2b)^3-8a^2b-16ab^2=(a-2b)^2(a+2b)>0$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Przekształcamy nierówność równoważnie, korzystając ze wzoru na sześcian sumy $(a+2b)^3$:

   $$\begin{aligned}&(a+2b)^3 > 8a^2b+16ab^2 \\[8pt]&a^3+6a^2b+12ab^2+8b^3-8a^2b-16ab^2>0 \\[8pt]&a^3-2a^2b-4ab^2+8b^3>0\end{aligned}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium