# Zadanie 1, matura rozszerzona maj 2025

- Arkusz: [Matura rozszerzona maj 2025](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2025/maj)
- Dział: Funkcje
- Rodzaj: otwarte, 2 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2025/maj/zadanie-01

## Treść

W warunkach laboratoryjnych obserwowano dynamikę wzrostu liczebności populacji pewnego gatunku bakterii. Liczebność $N$ populacji bakterii zmienia się w czasie zgodnie z zależnością wykładniczą

$N(t) = N_0 \cdot k^t \quad \text{dla} \quad t \geq 0$

gdzie:
$N_0$ – liczebność populacji w chwili $t = 0$ rozpoczęcia obserwacji,
$k$ – stała dodatnia, charakterystyczna dla danego gatunku bakterii i dla warunków przeprowadzenia obserwacji,
$t$ – czas wyrażony w godzinach, liczony od chwili $t = 0$ rozpoczęcia obserwacji.

W chwili rozpoczęcia obserwacji liczebność populacji była równa $10\,000$, a po dwóch godzinach była równa $15\,625$.

Oblicz, o ile procent wzrastała liczebność populacji tej bakterii w ciągu każdej godziny. Zapisz obliczenia.

## Odpowiedź

$25\%$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Z warunków zadania $N(0) = 10\,000$. Podstawiamy $t=0$ do wzoru, żeby wyznaczyć $N_0$:

   $$10\,000 = N_0 \cdot k^0 \implies N_0 = 10\,000$$

2. Wiemy też, że $N(2) = 15\,625$. Podstawiamy $N_0$ oraz $t=2$ i rozwiązujemy równanie z niewiadomą $k$ (odrzucamy rozwiązanie ujemne, bo $k$ jest stałą dodatnią):

   $$\begin{aligned}&15\,625 = 10\,000 \cdot k^2 \\[8pt]&k^2 = 1{,}5625 \\[8pt]&k = 1{,}25\end{aligned}$$

3. Obliczamy stosunek liczebności populacji w chwili $t+1$ do liczebności w chwili $t$ – ten stosunek mówi, ile razy (a więc o ile procent) zwiększa się liczebność w ciągu jednej godziny:

   $$\dfrac{N(t+1)}{N(t)} = \dfrac{N_0 \cdot k^{t+1}}{N_0 \cdot k^t} = k = 1{,}25$$

4. Ponieważ ten stosunek nie zależy od $t$, w ciągu każdej godziny liczebność populacji zwiększa się $1{,}25$ raza, czyli rośnie o $25\%$.