# Zadanie 12.1, matura rozszerzona czerwiec 2025

- Arkusz: [Matura rozszerzona czerwiec 2025](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2025/czerwiec)
- Dział: Geometria przestrzenna
- Rodzaj: otwarte, 2 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2025/czerwiec/zadanie-12-1

## Treść

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o polu powierzchni całkowitej równym $24\sqrt{3}$.

Wykaż, że objętość $V$ graniastosłupa w zależności od długości $a$ krawędzi podstawy jest określona wzorem

$V(a) = 6a - \dfrac{1}{8}a^3$

## Odpowiedź

$H = \dfrac{48\sqrt{3} - a^2\sqrt{3}}{6a}$, więc $V(a) = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot H = 6a - \dfrac{1}{8}a^3$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Oznaczmy wysokość graniastosłupa przez $H$. Pole powierzchni całkowitej to dwie podstawy, czyli trójkąty równoboczne o boku $a$, i trzy prostokątne ściany boczne o bokach $a$ i $H$.

   $$24\sqrt{3} = 2 \cdot \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} + 3aH$$

2. Wyznaczamy $H$, przenosząc pole podstaw na drugą stronę i dzieląc przez $3a$.

   $$\begin{aligned}&3aH = 24\sqrt{3} - \dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}\\[8pt]&H = \dfrac{24\sqrt{3} - \frac{a^2\sqrt{3}}{2}}{3a} = \dfrac{48\sqrt{3} - a^2\sqrt{3}}{6a}\end{aligned}$$

3. Objętość to pole podstawy razy wysokość, więc wstawiamy wyznaczone $H$.

   $$V(a) = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot H = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \dfrac{48\sqrt{3} - a^2\sqrt{3}}{6a}$$

4. Skracamy ułamek i rozbijamy go na dwa składniki.

   $$\begin{aligned}&V(a) = \dfrac{a\left(48\sqrt{3} - a^2\sqrt{3}\right)\sqrt{3}}{24} = \dfrac{a\left(144 - 3a^2\right)}{24}\\[8pt]&V(a) = 6a - \dfrac{1}{8}a^3\end{aligned}$$

5. Otrzymaliśmy wzór z treści zadania, co kończy dowód.