# Zadanie 11, matura rozszerzona czerwiec 2025

- Arkusz: [Matura rozszerzona czerwiec 2025](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2025/czerwiec)
- Dział: Geometria analityczna
- Rodzaj: otwarte, 6 pkt, trudność 5/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2025/czerwiec/zadanie-11

## Treść

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dany jest równoległobok $ABCD$ o wierzchołkach $A = (-8, -1)$ i $D = (-13, 9)$ oraz środku symetrii $M = \left(-\dfrac{9}{2}, 1\right)$.

Okrąg $\mathcal{O}$ przechodzi przez początek tego układu i jest styczny do prostych zawierających boki $AB$ i $BC$ tego równoległoboku. Druga współrzędna środka okręgu $\mathcal{O}$ jest liczbą ujemną.

Wyznacz równanie okręgu $\mathcal{O}$. Zapisz obliczenia.

## Odpowiedź

$(x+1)^2 + (y+2)^2 = 5$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Środek symetrii $M$ jest środkiem obu przekątnych. Z tego, że $M$ jest środkiem odcinka $BD$, wyznaczamy $B$.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2025/czerwiec/zadanie-11)*

   $$\begin{aligned}&x_M = \dfrac{x_B + x_D}{2} \ \land \ y_M = \dfrac{y_B + y_D}{2}\\[8pt]&\dfrac{x_B + (-13)}{2} = -\dfrac{9}{2} \ \land \ \dfrac{y_B + 9}{2} = 1\\[8pt]&B = (4, -7)\end{aligned}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium