# Zadanie 9, matura rozszerzona czerwiec 2025

- Arkusz: [Matura rozszerzona czerwiec 2025](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2025/czerwiec)
- Dział: Ciągi
- Rodzaj: otwarte, 5 pkt, trudność 3/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2025/czerwiec/zadanie-09

## Treść

Ciąg $(a_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$, jest arytmetyczny i rosnący. W tym ciągu $a_6 = 15$ oraz $a_{15} = a_3 \cdot (a_8 - 6)$.

Ciąg $(b_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$, jest geometryczny i $b_1 = a_{11}$ oraz $b_2 = a_6$.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu $(b_n)$. Zapisz obliczenia.

## Odpowiedź

$S = \dfrac{245}{4}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Oznaczmy różnicę ciągu $(a_n)$ przez $r$. Wyrazy z warunku zapisujemy przy użyciu $a_6$ i $r$:
$a_{15} = a_6 + 9r$
$a_3 = a_6 - 3r$
$a_8 = a_6 + 2r$
Wstawiamy je do warunku $a_{15} = a_3 \cdot (a_8 - 6)$.

   $$\begin{aligned}&a_6 + 9r = (a_6 - 3r)(a_6 + 2r - 6)\\[8pt]&15 + 9r = (15 - 3r)(15 + 2r - 6)\\[8pt]&15 + 9r = (15 - 3r)(2r + 9)\end{aligned}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium