# Zadanie 6, matura rozszerzona czerwiec 2025

- Arkusz: [Matura rozszerzona czerwiec 2025](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2025/czerwiec)
- Dział: Trygonometria
- Rodzaj: otwarte, 4 pkt, trudność 4/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2025/czerwiec/zadanie-06

## Treść

Rozwiąż równanie

$\cos(2x) + 2\cos^2(3x) + \cos(4x) = 0$

w przedziale $[0, \pi]$. Zapisz obliczenia.

## Odpowiedź

$x \in \left\{\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{4}, \dfrac{5\pi}{6}\right\}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Zapisujemy $2x$ jako $3x-x$, a $4x$ jako $3x+x$, i rozpisujemy oba cosinusy ze wzorów na cosinus różnicy i sumy.

   $$\begin{aligned}&\cos(\alpha\pm\beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta \\[8pt] &\cos(3x-x) + 2\cos^2(3x) + \cos(3x+x) = 0 \\[8pt] &\cos(3x)\cos x + \sin(3x)\sin x + 2\cos^2(3x) + \cos(3x)\cos x - \sin(3x)\sin x = 0 \\[8pt] &2\cos(3x)\cos x + 2\cos^2(3x) = 0\end{aligned}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium