# Zadanie 4, matura rozszerzona czerwiec 2025

- Arkusz: [Matura rozszerzona czerwiec 2025](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2025/czerwiec)
- Dział: Dowody geometryczne
- Rodzaj: otwarte, 3 pkt, trudność 4/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2025/czerwiec/zadanie-04

## Treść

Dany jest prostokąt $ABCD$, w którym $|AB| = 2\cdot |AD|$. Na bokach $AB$, $BC$, $CD$ oraz $DA$ tego prostokąta obrano punkty – odpowiednio – $K$, $L$, $M$ oraz $N$ (przy czym każdy z tych punktów leży na dokładnie jednym boku prostokąta $ABCD$). Czworokąt $KLMN$ jest trapezem prostokątnym (zobacz rysunek), a wysokość $LM$ tego trapezu jest równoległa do przekątnej $BD$ prostokąta.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2025/czerwiec/zadanie-04)*

Wykaż, że stosunek pola trójkąta $MDN$ do pola trójkąta $KBL$ jest równy $16$.

## Odpowiedź

$\dfrac{P_{MDN}}{P_{KBL}} = 16$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Boki $MN$ i $KL$ trapezu są równoległe, tak samo boki $DC$ i $AB$ prostokąta, więc kąty $DMN$ i $BKL$ są równe. Kąty przy $D$ i $B$ są proste, więc trójkąty $MDN$ i $KBL$ są podobne (cecha kkk), a bokowi $DN$ odpowiada bok $BL$.

<div style="display: flex; justify-content: center; align-items: flex-start; gap: 16px; flex-wrap: wrap;">

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2025/czerwiec/zadanie-04)*

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2025/czerwiec/zadanie-04)*

</div>

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium