# Zadanie 2, matura rozszerzona czerwiec 2025

- Arkusz: [Matura rozszerzona czerwiec 2025](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2025/czerwiec)
- Dział: Dowody algebraiczne
- Rodzaj: otwarte, 3 pkt, trudność 3/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2025/czerwiec/zadanie-02

## Treść

Wykaż, że jeżeli $a = \log_2 14$ oraz $b = \log_{\sqrt{2}} 27$, to $\log_7 54 = \dfrac{b+2}{2a-2}$.

## Odpowiedź

$\log_7 54 = \dfrac{b+2}{2a-2}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu przechodzimy w $b$ do podstawy $2$, bo $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$.

   $$\begin{aligned}&b = \log_{\sqrt{2}} 27 = \dfrac{\log_2 27}{\log_2 2^{\frac{1}{2}}} = \dfrac{\log_2 27}{\frac{1}{2}} = 2\log_2 27 \\[8pt] &\log_2 27 = \dfrac{b}{2}\end{aligned}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium