# Zadanie 13.2, matura rozszerzona maj 2024

- Arkusz: [Matura rozszerzona maj 2024](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/maj)
- Dział: Pochodne
- Rodzaj: otwarte, 4 pkt, trudność 4/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/maj/zadanie-13-2

## Treść

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości $3456$, których krawędź podstawy ma długość nie większą niż $8\sqrt{3}$.

Pole $P$ powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości $a$ krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem

$P(a) = \dfrac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{2} + \dfrac{13824\sqrt{3}}{a}$

dla $a \in (0, 8\sqrt{3}]$.

Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.

## Odpowiedź

$a = 8\sqrt{3}$, $P_{min} = 96\sqrt{3} + 1728$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Obliczamy pochodną funkcji $P$ określonej na przedziale $a\in(0,8\sqrt{3}]$:

   $$P'(a) = a\sqrt{3} - \dfrac{13824\sqrt{3}}{a^2}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium