# Zadanie 13.1, matura rozszerzona maj 2024

- Arkusz: [Matura rozszerzona maj 2024](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/maj)
- Dział: Geometria przestrzenna
- Rodzaj: otwarte, 2 pkt, trudność 3/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2024/maj/zadanie-13-1

## Treść

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości $3456$, których krawędź podstawy ma długość nie większą niż $8\sqrt{3}$.

Wykaż, że pole $P$ powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości $a$ krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem

$P(a) = \dfrac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{2} + \dfrac{13824\sqrt{3}}{a}$

## Odpowiedź

$P(a) = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{2} + \dfrac{13824\sqrt{3}}{a}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Rozpatrujemy dowolny z rozważanych graniastosłupów i oznaczamy jego wysokość przez $H$. Podstawą jest trójkąt równoboczny o boku $a$, więc jego pole wynosi $\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Korzystamy ze wzoru na objętość graniastosłupa (objętość $=$ pole podstawy $\cdot$ wysokość) i przyrównujemy do $3456$:

   $$3456 = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot H$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium